向量与矩阵的范数

1.向量的范数

向量的1-范数：; 各个元素的绝对值之和；

向量的2-范数： ${$ 每个元素的平方和再开平方根；

向量的无穷范数： ${\left\| X \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| \right|$

例：向量X=[2, 3, -5, -7] ，求向量的1-范数，2-范数和无穷范数。

向量的1-范数：各个元素的绝对值之和；=2+3+5+7=17；

向量的2-范数：每个元素的平方和再开平方根；；

${\left\| X \right\|_2} = {\left( {{\rm{2}} \times {\rm{2}} + {\rm{3}} \times {\rm{3}} + {\rm{5}} \times {\rm{5}} + {\rm{7}} \times {\rm{7}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = 9.3274$

向量的无穷范数：

（1）正无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最大的；即X的正无穷范数为：7；

（2）负无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的；即X的负无穷范数为：2；

2.矩阵的范数

设：向量，矩阵，例如矩阵A为：

A=[2, 3, -5, -7;

   4, 6,  8, -4;

   6, -11, -3, 16];

（1）矩阵的1-范数（列模）： ${\left\| A \right\|_1} = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{{{{\left\| {AX} \right\|}_1}}}{{{{\left\| X \right\|}_1}}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le j \le n} \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|}$ ；矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（列和最大）；即矩阵A的1-范数为：27

（2）矩阵的2-范数（谱模）： ${\left\| A \right\|_2} = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{{{{\left\| {AX} \right\|}_2}}}{{{{\left\| X \right\|}_2}}} = \sqrt {{\lambda _{\max }}({A^T}A)} = \sqrt {\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {{\lambda _i}} \right|}$ ，其中 $\lambda_i$ 为 $A^TA$ 的特征值；矩阵 $A^TA$ 的最大特征值开平方根。

（3）矩阵的无穷范数（行模）： $]$ ；矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大）

原文链接：https://blog.csdn.net/zaishuiyifangxym/article/details/81673491